В 1939г., когда СССР оккупировал Западную Украину, отец Эйба был арестован и сослан в Сибирь, а сам он и его мать были высланы в Казахстан. Семья воссоединилась после войны в Польше, откуда нелегально пробралась в Австрию. Проведя долгих пять лет в лагере беженцев в Италии, Либиволы в 1950г. иммигрировали в США.
     Несколько лет Эйб работал официантом в крошечной кофейне на углу Второй авеню и Десятой стрит. В 1954г. семья выкупила это заведение и постепенно расширила его, превратив в кошерный ресторан на 250 мест “Секонд Авеню Дели”. За четыре десятилетия, в течение которых во главе дела стоял Эйб, “Дели” стал своеобразной достопримечательностью Нью-Йорка, привлекавшей знаменитостей и туристов еврейской и украинской кухней и тёплой атмосферой. Среди его посетителей были Джо ДиМаджио, Мухаммад Али, Джеки Мэйсон, Боб Хоуп...
   Влюблённый в свой район Ист-Виллидж, бывший в середине двадцатого века средоточием еврейской культурной жизни, Либивол создал в 1985г. у входа в свой ресторан Аллею Звёзд Еврейского Театра, хранящую память о “Еврейском Бродвее”. Она состоит из 28 квадратных гранитных плит со звёздами, в каждую из которых вписаны имена выдающихся артистов, режиссёров, авторов, работавших в нью-йоркских идишистских театрах.
      Эйб поддерживал многие благотворительные и общественные организации Даунтауна, был известен своей щедростью по отношению к бездомным и безработным. Погиб от пули грабителя при рутинном посещении банка. Его наследникам пришлось закрыть “Секонд Авеню Дели” в 2006г. из-за проблем с арендой помещения, но затем они открыли его под тем же названием - на Ист 33-й улице.